Câu hỏi
Lăng trụ \(ABC.A'B'C',\,\,\Delta ABC\) đều, \(AB=a,\,\,A'A=A'B=A'C=a,\,\,M,N\) là trung điểm của BC và A’B. Tính \(d\left( C;\left( AMN \right) \right)\) bằng phương pháp đổi đỉnh.
- A \(\frac{a\sqrt{22}}{11}\)
- B \(\frac{a\sqrt{11}}{22}\)
- C \(\frac{a\sqrt{11}}{11}\)
- D \(\frac{a\sqrt{22}}{22}\)
Lời giải chi tiết:
* Nhận xét: Chóp A’.ABC đều. Vẽ O là tâm \(\Delta ABC\Rightarrow A'O\bot \left( ABC \right)\).
* \(AO=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
* Tam giác vuông A’OA: \(A'O=\sqrt{{{a}^{2}}-\frac{3{{a}^{2}}}{9}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)
* \(d\left( N;\left( ABC \right) \right)=\frac{1}{2}A'O=\frac{a\sqrt{6}}{6}\).
* \({{V}_{NACM}}=\frac{1}{3}\left[ d\left( N;\left( ABC \right) \right) \right].{{S}_{\Delta AMC}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{6}.\frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{48}\)
* \(\Delta A'AB\) đều \(\Rightarrow AN=\frac{a\sqrt{3}}{2}=AM,\,\,MN=\frac{A'C}{2}=\frac{a}{2}\).
Vẽ \(AE\bot MN,\,\,AE=\sqrt{\frac{3{{a}^{2}}}{4}-\frac{{{a}^{2}}}{16}}=\frac{a\sqrt{11}}{4}\)
\(\Rightarrow {{S}_{\Delta AMN}}=\frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a\sqrt{11}}{4}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{11}}{16}\)
* \(d\left( C;\left( AMN \right) \right)=\frac{3{{V}_{NACM}}}{{{S}_{\Delta AMN}}}=\frac{a\sqrt{22}}{11}\)
Chọn đáp án A.
Câu hỏi trước
