Lời giải chi tiết:

* Bước 1: Qua A vẽ d // BC. Qua C vẽ \(\Delta //AB\), \(d\cap \Delta =I\).

\(\Rightarrow \left( SAI \right)\) chứa SA và song song với BC.

* Bước 2: \(C\in BC,\,\,d\left( SA;BC \right)=d\left( C;\left( SAI \right) \right)\)

\(\frac{AC}{AH}=\frac{4}{3}\Rightarrow d\left( C;\left( SAI \right) \right)=\frac{4}{3}d\left( H;\left( SAI \right) \right)\).

* Vẽ \(HE\bot AI,\,\,HK\bot SE\Rightarrow d\left( H;\left( SAI \right) \right)=HK\)

* Tính HK :

+ Tứ giác ABCI là hình thoi \(\Rightarrow \widehat{EAH}={{60}^{0}}\)

+ Tam giác vuông HEA :

\(\sin {{60}^{0}}=\frac{HE}{\frac{3a}{4}}\Rightarrow HE=\frac{3a}{4}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}a}{8}\)

+ Vẽ M là trung điểm của AC. Tam giác vuông BMH : \(BH=\sqrt{B{{M}^{2}}+M{{H}^{2}}}=\sqrt{\frac{3{{a}^{2}}}{4}+\frac{{{a}^{2}}}{16}}=\frac{a\sqrt{13}}{4}\)

+ Tam giác vuông SHB : \(SH=\sqrt{\frac{19{{a}^{2}}}{16}-\frac{13{{a}^{2}}}{16}}=\frac{a\sqrt{6}}{4}\).

+ Tam giác vuông SHE : \(\frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{H{{E}^{2}}}+\frac{1}{S{{H}^{2}}}\Rightarrow HK\)