Câu hỏi
Chóp S.ABCD, ABCD là hình thoi, \(AB=a,\,\,\widehat{ABC}={{60}^{0,\,}}AC\cap BD=O,\,\,H\) là trung điểm của OD. \(SH\bot \left( ABCD \right),\,\,SB=a\sqrt{2},\,\,M\) là trung điểm của SB. Tính \(d\left( SD;CM \right)\).
- A \(\frac{a\sqrt{30}}{8}\)
- B \(\frac{a\sqrt{10}}{8}\)
- C \(\frac{a\sqrt{5}}{8}\)
- D \(\frac{a\sqrt{7}}{8}\)
Lời giải chi tiết:
* Bước 1: \(\Delta SBD\) có OM là đường trung bình \(\Rightarrow OM//SD\Rightarrow \left( AMC \right)\) chứa CM và song song với SD.
* Bước 2: \(D\in SD;\,\,d\left( SD;CM \right)=d\left( D;\left( AMC \right) \right)\).
* Vẽ \(MK//SH\,\,\left( K\in BD \right)\Rightarrow MK\bot \left( ABCD \right)\). Vẽ
\(KI\bot OM\Rightarrow d\left( K;\left( AMC \right) \right)=KI\).
* \(HB=OB+OH=\frac{a\sqrt{3}}{2}+\frac{a\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}a}{4}\Rightarrow HK=\frac{3\sqrt{3}a}{8}\)
\(\Rightarrow OK=HK-HO=\frac{3\sqrt{3}a}{8}-\frac{a\sqrt{3}}{4}=\frac{a\sqrt{3}}{8}\).
* \(\frac{OD}{OK}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{8}}=4\Rightarrow d\left( D;\left( AMC \right)=4d\left( K;\left( AMC \right) \right) \right)=4KI\)
* \(MK=\frac{SH}{2}=\frac{\sqrt{S{{B}^{2}}-H{{B}^{2}}}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{8}\)
* \(\frac{1}{K{{I}^{2}}}=\frac{1}{O{{K}^{2}}}+\frac{1}{M{{K}^{2}}}\Rightarrow KI=\frac{a\sqrt{15}}{16\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \) Đáp số \(\frac{a\sqrt{15}}{4\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{30}}{8}\).
Chọn đáp án A.
Câu hỏi trước
