Lời giải chi tiết:

(Phương pháp giải được giới thiệu trong bài https://tuyensinh247.com/video-10-dung-hinh-giai-tich-giai-bai-toan-khong-gian-t1-it27683.html?topic_id=3067 thuộc chuyên đề: Mặt phẳng (Hình học giải tích)).

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Coi \(a = 1\) ta có:

\(A\left( {0;0;0} \right),\,\,B\left( {1;0;0} \right),\,\,S\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2};\dfrac{{\sqrt 2 }}{2};1} \right),\,\,D\left( {0;1;0} \right)\).

\(G\) là trọng tâm tam giác \(SAB \Rightarrow G\left( {\dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{6};\dfrac{{\sqrt 2 }}{6};\dfrac{1}{3}} \right)\).

\(\left( P \right)\) đi qua \(D\) và vuông góc với \(SB\) nên nhận \(\overrightarrow {SB}  = \left( {\dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2}; - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}; - 1} \right)\) là 1 VTPT.

\( \Rightarrow Pt\,\,mp\left( P \right):\,\,\dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2}x - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {y - 1} \right) - z = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2}x - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}y - z + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = 0\).

\( \Rightarrow d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2}.\dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{6} - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 2 }}{6} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {1^2}} }} = \dfrac{{ - \dfrac{1}{3} + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{3 - \sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{6}\).

Vậy \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{6}\).

Chọn A.