Phương pháp giải:

+) Tìm tọa độ điểm I.

+) M là trung điểm của AD \( \Rightarrow AB = 2IM\)

+) \({S_{ABCD}} = AB.BC \Rightarrow BC \Rightarrow MA = MD = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC\)

+) Viết phương trình đường thẳng AD đi qua M và nhận \(\overrightarrow {IM} \) là 1 VTPT.

+) Lập hệ phương trình tìm tọa độ điểm A. 

Lời giải chi tiết:

I có hoành độ \({x_1} = \frac{9}{2}\) và \(I \in \left( d \right):x - y - 3 = 0 \Rightarrow I\left( {\frac{9}{2};\frac{3}{2}} \right)\)

M là trung điểm của AD là giao điểm của d và Ox \( \Rightarrow M\left( {3;0} \right)\).

\(\begin{array}{l}AB = 2IM = 2\sqrt {{{\left( {3 - \frac{9}{2}} \right)}^2} + {{\left( {0 - \frac{3}{2}} \right)}^2}}  = 3\sqrt 2 \\{S_{ABCD}} = AB.BC = 12 \Leftrightarrow BC = \frac{{12}}{{AB}} = \frac{{12}}{{3\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2  \Rightarrow MA = MD = \sqrt 2\end{array}\)

Đường thẳng AD đi qua M và nhận \(\overrightarrow {IM}  = \left( { - \frac{3}{2}; - \frac{3}{2}} \right) =  - \frac{3}{2}\left( {1;1} \right)\)  là 1 VTPT nên pt(AD) là \(1\left( {x - 3} \right) + 1\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 3 = 0\)

Gọi \(A\left( {x;y} \right) \Rightarrow \) Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 3 = 0\\{\left( {3 - x} \right)^2} + {\left( {0 - y} \right)^2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - x\\2{\left( {3 - x} \right)^2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - x\\{\left( {3 - x} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - x\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( {2;1} \right);D\left( {4; - 1} \right)\\A\left( {4; - 1} \right);D\left( {2;1} \right)\end{array} \right.\)

Chọn D.