Phương pháp giải:

+) Tham số hóa tọa độ điểm \(C\left( {c; - 2c - 5} \right)\)

+) Suy ra tọa độ trung điểm I của AC theo c \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_C}}}{2}\end{array} \right.\)

+) Chứng minh AI = NI \( \Rightarrow \) giá trị của c \( \Rightarrow \) tọa độ điểm C.

+) Chứng minh B đối xứng với N qua AC, tìm tọa độ điểm B.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(C\left( {c; - 2c - 5} \right)\)

Gọi I là tâm hình chữ nhật ABCD ta có I là trung điểm của AC nên \(I\left( {\frac{{c - 4}}{2};\frac{{ - 2c + 3}}{2}} \right)\)

Mặt khác \(\Delta BND\) vuông tại N \( \Rightarrow IN = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AC = IA\)

Ta có \(A{I^2} = N{I^2} = {\left( {\frac{{c - 4}}{2} + 4} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - 2c + 3}}{2} - 8} \right)^2} = {\left( {\frac{{c - 4}}{2} - 5} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - 2c + 3}}{2} + 4} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow {\left( {\frac{{c + 4}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - 2c - 13}}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{c - 14}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - 2c + 11}}{2}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {c^2} + 8c + 16 + 4{c^2} + 52c + 169 = {c^2} - 28c + 196 + 4{c^2} - 44c + 121\\ \Leftrightarrow 132c = 132 \Leftrightarrow c = 1 \Rightarrow C\left( {1; - 7} \right)\end{array}\)

Ta có CM = AD và CM // AD nên ADMC là hình bình hành \( \Rightarrow AC//DM\) . C là trung điểm của BM \( \Rightarrow \) K là trung điểm của BN. Mà \(DM \bot BN \Rightarrow BN \bot AC\). Do đó B đối xứng với N qua AC.

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng BN đi qua N và nhận \(\overrightarrow {AC}  = \left( {5; - 15} \right) = 5\left( {1; - 3} \right)\)  là 1 VTPT nên có PT :

\(1\left( {x - 5} \right) - 3\left( {y + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 17 = 0\)

Đường thẳng AC đi qua A và vuông góc với BN nên pt(AC) có dạng \(3x + y + c = 0\)

\(A \in AC \Rightarrow 3.\left( { - 4} \right) + 8 + c = 0 \Leftrightarrow c = 4 \Rightarrow pt\left( {AC} \right):3x + y + 4 = 0\)

Gọi \(K = AC \cap BN \Rightarrow \) Tọa độ của K là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y + 4 = 0\\x - 3y - 17 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y =  - \frac{{11}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow K\left( {\frac{1}{2}; - \frac{{11}}{2}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 2{x_K} - {x_N} = 1 - 5 =  - 4\\{y_B} = 2{y_K} - {y_N} =  - 11 + 4 =  - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow B\left( { - 4; - 7} \right)\)

Chọn A.