Phương pháp giải:

* Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=f(x)\).

Nếu \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=a\,\)hoặc\(\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=a\Rightarrow y=a\) là TCN của đồ thị hàm số.

* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=f(x)\).

Nếu \(\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty \,\)hoặc \(\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty \,\)hoặc \(\underset{x\to {{a}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty \,\)hoặc \(\underset{x\to {{a}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty \,\)thì \(x=a\)

 là TCĐ của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{{(a - 3)x + a + 2018}}{{x - (b + 3)}} = a - 3\\\mathop {\lim }\limits_{x \to b + 3} \dfrac{{(a - 3)x + a + 2018}}{{x - (b + 3)}} = \infty \end{array}\)

=> Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là \(y=a-3\), tiệm cận đứng là \(x=b+3\)

Theo đề bài, ta có:  \(a-3=b+3=0\)

=> \(a=3,\,\,b=-3\Rightarrow a+b=0\)

Chọn C.