Phương pháp giải:

\(y={{y}_{o}}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) nếu \(\left[ \begin{align}  & \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\,f\left( x \right)={{y}_{o}} \\  & \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\,f\left( x \right)={{y}_{o}} \\ \end{align} \right.\)

\(x={{x}_{o}}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) nếu thỏa mãn ít nhất: \(\left[ \begin{align}  & \underset{x\to x_{o}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\,f\left( x \right)=+\infty  \\ & \underset{x\to x_{o}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty  \\  & \underset{x\to x_{o}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty  \\ & \underset{x\to x_{o}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\,f\left( x \right)=-\infty  \\ \end{align} \right.\)

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x\ge 1,x\ne 5\).

Ta có:

+) \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{x-1}+1}{{{x}^{2}}-4x-5}=0\) nên \(y=0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+) \(\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{x-1}+1}{{{x}^{2}}-4x-5}=+\infty \) nên \(x=5\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho chỉ có 2 tiệm cận.

Chọn B.