Phương pháp giải:

Dựa vào hình vẽ suy ra diện tích hình phẳng tô đậm theo g(x).

Sử dụng phương pháp đổi biến để tính tích phân I.

Lời giải chi tiết:

Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng \(S = \int\limits_1^2 {\left| {g\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \) vì \(g\left( x \right) \ge 0,\,\,\forall x \in \left[ {1;2} \right] \Rightarrow S = \int\limits_1^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x}  = {5 \over 8}\)

Khi đó \(S = \int\limits_1^2 {x.f\left( {{x^2}} \right){\rm{d}}x} .\) Đặt \(t = {x^2} \Leftrightarrow {\rm{d}}t = 2x\,{\rm{d}}x \Leftrightarrow x\,{\rm{d}}x = {{{\rm{d}}t} \over 2}\) và đổi cận \(\left\{ \matrix{  x = 1\,\, \Rightarrow \,\,t = 1 \hfill \cr   x = 2\,\, \Rightarrow \,\,t = 4 \hfill \cr}  \right..\)

Vậy \(S = {5 \over 8} \Leftrightarrow \int\limits_1^4 {{1 \over 2}.f\left( t \right){\rm{d}}t}  = {5 \over 8} \Leftrightarrow {1 \over 2}.\int\limits_1^4 {f\left( t \right){\rm{d}}t}  = {5 \over 8} \Leftrightarrow \int\limits_1^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = {5 \over 4}\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \,I = {5 \over 4}.\)

Chọn A.