Phương pháp giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm.

Áp dụng công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = f\left( x \right),\,\,y = 0,\,\,x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \)

Đồng nhất hệ số, tìm a, b và tính tổng.

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(Ox\) là \(\left( {1 - x} \right){e^{2x}} = 0 \Leftrightarrow x = 1.\)

Khi đó, diện tích hình phẳng cần tính là \(S = \int\limits_1^2 {\left| {\left( {1 - x} \right){e^{2x}}} \right|{\rm{d}}x}  = \int\limits_1^2 {\left( {x - 1} \right){e^{2x}}{\rm{d}}x} .\)

Đặt \(\left\{ \matrix{  u = x - 1 \hfill \cr   {\rm{d}}v = {e^{2x}}{\rm{d}}x \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {\rm{d}}u = {\rm{d}}x \hfill \cr   v = {{{e^{2x}}} \over 2} \hfill \cr}  \right.\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \,\,S = \left. {{{\left( {x - 1} \right){e^{2x}}} \over 2}} \right|_1^2 - {1 \over 2}\int\limits_1^2 {{e^{2x}}\,{\rm{d}}x}  = \left. {\left[ {{{\left( {x - 1} \right){e^{2x}}} \over 2} - {{{e^{2x}}} \over 4}} \right]} \right|_1^2\)

\( = \left( {{{{e^4}} \over 2} - {{{e^4}} \over 4}} \right) - \left( { - \,{{{e^2}} \over 4}} \right) = {{{e^2}\left( {{e^2} + 1} \right)} \over 4} = {{{e^2}\left( {{e^2} + a} \right)} \over b}\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \,\,\left\{ \matrix{  a = 1 \hfill \cr   b = 4 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow a + b = 5.\)

Chọn C.