Phương pháp giải:

Áp dụng công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = f\left( x \right),\,\,y = 0,\,\,x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \)

Đồng nhất hệ số, tìm a, b và tính tổng.

Lời giải chi tiết:

Do \({{\sqrt {1 + \ln x} } \over x} \ge 0;\,\,\forall x \in \left[ {1;\,\,e} \right] \Rightarrow \left| {{{\sqrt {1 + \ln x} } \over x}} \right| = {{\sqrt {1 + \ln x} } \over x}\), suy ra diện tích cần xác định là

\(S = \int\limits_1^e {\left| {{{\sqrt {1 + \ln x} } \over x}} \right|{\rm{d}}x}  = \int\limits_1^e {{{\sqrt {1 + \ln x} } \over x}{\rm{d}}x} \).

Đặt \(t = \sqrt {1 + \ln x}  \Rightarrow {t^2} = 1 + \ln x \Rightarrow 2t\,{\rm{d}}t = {{{\rm{d}}x} \over x}.\)

Khi \(\left\{ \matrix{  x = e\,\, \Rightarrow \,\,t = \sqrt 2  \hfill \cr   x = 1\, \Rightarrow t = 1 \hfill \cr}  \right..\) Vậy \(S = \int\limits_1^{\sqrt 2 } {t.2t\,{\rm{d}}t}  = \int\limits_1^{\sqrt 2 } {2{t^2}\,{\rm{d}}t}  = \left. {{2 \over 3}{t^3}} \right|_1^{\sqrt 2 } = {{4\sqrt 2  - 2} \over 3} = {{a + 4\sqrt 2 } \over b} \Rightarrow \left\{ \matrix{  a =  - \,2 \hfill \cr   b = 3 \hfill \cr}  \right..\)

Vậy tổng \(T = a + 2b =  - \,2 + 2.3 = 4.\)

Chọn C.