Phương pháp giải:

Áp dụng công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = f\left( x \right),\,\,y = 0,\,\,x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \)

Lời giải chi tiết:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = {x^4} + 2m{x^2} + {m^2};\,\,y = 0;\,\,x = 0;\,\,x = 1\) là

\(S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^4} + 2m{x^2} + {m^2}} \right|{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {\left| {{{\left( {{x^2} + m} \right)}^2}} \right|{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {{{\left( {{x^2} + m} \right)}^2}{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {\left( {{x^4} + 2m{x^2} + {m^2}} \right){\rm{d}}x} \)

\( = \left. {\left( {{{{x^5}} \over 5} + {{2m{x^3}} \over 3} + {m^2}x} \right)} \right|_0^1 = {m^2} + {{2m} \over 3} + {1 \over 5}\) mà \(S = {{28} \over {15}}\,\, \Rightarrow {m^2} + {{2m} \over 3} + {1 \over 5} = {{28} \over {15}} \Leftrightarrow \left[ \matrix{  m = 1 \hfill \cr   m =  - {5 \over 3} \hfill \cr}  \right..\)

Vậy có hai giá trị của tham số \(m\) là \(\left\{ \matrix{  {m_1} = 1 \hfill \cr   {m_2} =  - {5 \over 3} \hfill \cr}  \right. \Rightarrow {m_1}.{m_2} =  - {5 \over 3}.\)

Chọn C.