Câu hỏi
Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y - z + 1 = 0\) và mặt phẳng \(\left( Q \right):x + 2y - 2z - 4 = 0\). Mặt cầu (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 6y + m = 0\). Tìm m để đường thẳng (d) cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB=8.
- A 2
- B -9
- C 5
- D -12
Phương pháp giải:
Tìm đường thẳng d.
Tìm \(d\left( {O,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\)
Với O là tâm mặt cầu (S).
Tìm bán kính của mặt cầu.
Lời giải chi tiết:
\(d = \left( P \right) \cap \left( Q \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} //\left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right]\)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {2; - 2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left( {1;2; - 2} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right] = \left( {6;3;6} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1;2} \right)\end{array}\)
Chọn \(M\left( {0;1; - 1} \right) \in \left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\)
\( \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 + t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow O\left( { - 2;3;0} \right)\\ \Rightarrow OM = \left( {2; - 2; - 1} \right)\\ \Rightarrow d\left( {O,d} \right) = 3\end{array}\)
Với O là tâm mặt cầu (S).
Mà \(AB \equiv d \Rightarrow d\left( {O,AB} \right) = 3\).
\(\begin{array}{l}{R^2} = \frac{{A{B^2}}}{4} + {\left( {d\left( {O,AB} \right)} \right)^2} = {4^2} + {3^2} = 25\\ \Rightarrow m = - 12\end{array}\)
Câu hỏi trước
