Phương pháp giải:

- Nhận xét đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định.

- Do đó khoảng cách lớn nhất chính là khoảng cách từ A đến điểm cố định đó.

Lời giải chi tiết:

Cho $t = 2$ thì $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2m + 2m = 1\\y =  - 2 + 2m + \left( {1 - m} \right).2 = 0\\z = 1 + 2 = 3\end{array} \right.$

Do đó (d) luôn đi qua điểm $M\left( {1;0;3} \right)$ cố định.

Gọi H là hình chiếu của A lên (d) thì $d\left( {A,\left( d \right)} \right) = AH \le AM$ với mọi vị trí của H.

Do đó để $d\left( {A,\left( d \right)} \right)$ đạt GTLN hay $A{H_{\max }}$ thì $H \equiv M$ hay $AM \bot d$

Ta có: $\overrightarrow {AM}  = \left( {\dfrac{1}{2}; - 1; - 1} \right),\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {m;1 - m;1} \right)$

$\begin{array}{l}AM \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.m - 1.\left( {1 - m} \right) - 1.1 = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{4}{3}.\end{array}$

Chọn B.