Câu hỏi
Biết rằng đồ thị \(\left( H \right):y = \dfrac{{{x^2} + 2x + m}}{{x - 2}}\) (với m là tham số thực) có hai điểm cực trị A, B. Hãy tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng AB.
- A \(\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\).
- B \(\dfrac{{\sqrt 5 }}{5}\).
- C \(\dfrac{3}{{\sqrt 5 }}\).
- D \(\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\).
Phương pháp giải:
- Tách \(y = \dfrac{{{x^2} + 2x + m}}{{x - 2}} = x + 4 + \dfrac{{m + 8}}{{x - 2}}\) và tính \(y'\).
- Phân tích: \(y = f\left( x \right).y' + g\left( x \right)\), suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là \(y = g\left( x \right)\).
- Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(ax + by + c = 0\) là: \(d\left( {M;d} \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}y = \dfrac{{{x^2} + 2x + m}}{{x - 2}} = x + 4 + \dfrac{{m + 8}}{{x - 2}}\\ \Rightarrow y' = 1 - \dfrac{{m + 8}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\end{array}\)
Khi đó: \(y = - \left( {x - 2} \right)\left( {1 - \dfrac{{m + 8}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}} \right) + 2x + 2\)\( \Leftrightarrow y = - \left( {x - 2} \right).y' + 2x + 2\).
Giả sử \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_1} = - \left( {{x_1} - 2} \right).y'\left( {{x_1}} \right) + 2{x_1} + 2 = 2{x_1} + 2\\{y_2} = - \left( {{x_2} - 2} \right).y'\left( {{x_2}} \right) + 2{x_2} + 2 = 2{x_2} + 2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị trên là: \(y = 2x + 2 \Leftrightarrow 2x - y + 2 = 0\,\,\left( d \right)\).
Vậy \(d\left( {O;d} \right) = \dfrac{{\left| {2.0 - 0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}.\)
Chọn A.