Phương pháp giải:

- Gọi \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\), viết phương trình dạng mặt chắn đi qua 3 điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) : \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\).

- Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\).

- Sử dụng công thức tính thể tích tứ diện \(OABC\) có \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) đôi một vuông góc là: \(V = \dfrac{1}{6}OA.OB.OC\).

- Áp dụng BĐT Cô-si: \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\,\,\left( {a,\,\,b,\,\,c \ge 0} \right)\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(A\left( {a;0;0} \right),\) \(B\left( {0;b;0} \right),\) \(C\left( {0;0;c} \right)\) \(\left( {a,\,\,b,\,\,c > 0} \right)\). Khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\)

Lại có mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} = 1\).

Tứ diện \(OABC\) có \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) đôi một vuông góc nên thể tích tứ diện OABC là \(V = \dfrac{1}{6}OA.OB.OC = \dfrac{{abc}}{6}\).

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{6}{{abc}}}} \Rightarrow 1 \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{6}{{abc}}}} \Rightarrow \dfrac{{abc}}{6} \ge 27\) \( \Rightarrow V \ge 27\).

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{a} = \dfrac{2}{b} = \dfrac{3}{c}\\\dfrac{{abc}}{6} = 27\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 6\\c = 9\end{array} \right.\).

Vậy khi thể tích \(OABC\) đạt giá trị lớn nhất thì phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{6} + \dfrac{z}{9} = 1\).

Chọn A.