Phương pháp giải:

Cách 1:

+) Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;\;b} \right]\) bằng cách:

+) Giải phương trình \(y' = 0\) tìm các nghiệm \({x_i}.\)

+) Tính các giá trị \(f\left( a \right),\;f\left( b \right),\;\;f\left( {{x_i}} \right)\;\;\left( {{x_i} \in \left[ {a;\;b} \right]} \right).\)  Khi đó:

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\},\;\;\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\}.\) 

Cách 2: Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên \(\left[ {a;\;b} \right].\)

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số: \(f\left( x \right) = x + \sqrt {8 - {x^2}} \) ta có: TXĐ: \(D = \left[ { - 2\sqrt 2 ;\,\,2\sqrt 2 } \right]\)

\(f'\left( x \right) = 1 - \dfrac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}\) \( \Rightarrow f'\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 1 - \dfrac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }} = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {8 - {x^2}}  - x = 0 \Leftrightarrow \sqrt {8 - {x^2}}  = x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\8 - {x^2} = {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\2{x^2} = 8\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 2\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = 2 \in \left[ { - 2\sqrt 2 ;\,\,2\sqrt 2 } \right]\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 2\sqrt 2 } \right) =  - 2\sqrt 2 \\f\left( 2 \right) = 4\\f\left( {2\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \mathop {Max}\limits_{\left[ { - 2\sqrt 2 ;\,\,\,2\sqrt 2 } \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 4.\end{array}\)

Chọn D.