Phương pháp giải:

Mặt phẳng chứa trục \(Oz\) là mặt phẳng đi qua điểm \(O\left( {0;\,\,0;\,\,0} \right)\) và có VTPT vuông góc với trục \(Oz\) hay vuông góc với vecto \(\overrightarrow k  = \left( {0;\,\,0;\,\,1} \right).\)  

Hai vecto \(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};\,\,{a_2};\,\,{a_3}} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( {{b_1};\,\,{b_2};\,\,{b_3}} \right)\) vuông góc với nhau \( \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0\)\( \Leftrightarrow {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3} = 0.\)

Lời giải chi tiết:

VTCP của trục \(Oz\) là: \(\overrightarrow k  = \left( {0;\,\,0;\,\,1} \right).\)

+) Xét đáp án A: \(\left( \alpha  \right):\,\,\,x - y + 1 = 0\) không đi qua điểm \(O\left( {0;\,\,0;\,\,0} \right) \Rightarrow \) loại đáp án A.

+) Xét đáp án B: \(\left( \beta  \right):\,\,\,z - 3 = 0\) không đi qua điểm \(O\left( {0;\,\,0;\,\,0} \right) \Rightarrow \) loại đáp án B.

+) Xét đáp án C: \(\left( P \right):\,\,\,x + y - z = 0\) đi qua điểm \(O\left( {0;\,\,0;\,\,0} \right)\) và có VTPT \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;\,\,1; - 1} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow k  = 1.0 + 1.0 + 1.\left( { - 1} \right) =  - 1 \ne 0\)\( \Rightarrow \) loại đáp án C.

Chọn D.