Phương pháp giải:

Thể tích khối trụ có bán kính đáy \(R\) và chiều cao \(h\) là: \(V = \pi {R^2}h.\)

Lời giải chi tiết:

Xét khối trụ như hình vẽ. Ở đó ABCD là hình vuông cạnh \(AB = BC = 6a\)

Gọi H là trung điểm BC thì \(OH \bot BC \Rightarrow OH \bot \left( {ABCD} \right)\)

Mà \(OO'//\left( {ABCD} \right)\) nên \(d\left( {OO',\left( {ABCD} \right)} \right) = d\left( {O,\left( {ABCD} \right)} \right) = OH = 3a\)

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác OHB vuông tại H có:

\(OB = \sqrt {O{H^2} + H{B^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}}  = 3a\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \) Thể tích khối trụ đã cho là: \(V = \pi .O{B^2}.AB = \pi .{\left( {3a\sqrt 2 } \right)^2}.6a = 108\pi {a^3}.\)

Chọn D.