Câu hỏi
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\). Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {1;2;0} \right)\) và chứa đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{1}\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {1;a;b} \right)\). Tính \(a + b\).
- A \(a + b = 2\)
- B \(a + b = 0\)
- C \(a + b = - 3\)
- D \(a + b = 3\)
Phương pháp giải:
- \(\left\{ \begin{array}{l}d \subset \left( P \right)\\MA \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n .\overrightarrow {{u_d}} = 0\\\overrightarrow n .\overrightarrow {MA} = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {MA} } \right]\) với \(\overrightarrow {{u_d}} \) là 1 VTCP của đường thẳng d, M là điểm bất kì thuộc đường thẳng d.
- Rút gọn để VTPT có dạng \(\overrightarrow n \left( {1;a;b} \right)\). Đồng nhất hệ số tìm a, b và tính tổng \(a + b\).
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{1}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}} \left( {2;3;1} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( { - 1;0;0} \right)\).
Gọi \(\overrightarrow {n'} \) là 1 VTPT của mặt phẳng cần tìm.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}d \subset \left( P \right)\\MA \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {n'} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\\\overrightarrow {n'} .\overrightarrow {MA} = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {n'} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {MA} } \right]\).
Có \(\overrightarrow {MA} = \left( {2;2;0} \right)\), suy ra \(\overrightarrow {n'} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {MA} } \right] = \left( { - 2;2; - 2} \right)\).
Do đó \(\overrightarrow n \left( {1; - 1;1} \right)\) cũng là 1 VTPT của mặt phẳng cần tìm \( \Rightarrow a = - 1,\,\,b = 1\).
Vậy \(a + b = - 1 + 1 = 0.\)
Chọn B.
Câu hỏi trước
