Câu hỏi
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4\) và điểm \(M\left( {3;1;2} \right)\). Điểm A di chuyển trên mặt cầu \(\left( S \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {MA} = - 3\) thì A thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?
- A \(x + y + 6z - 2 = 0.\)
- B \(3x + y + 2z - 3 = 0.\)
- C \(5x + y - 2z - 4 = 0.\)
- D \(2x - 4z - 1 = 0\)
Phương pháp giải:
- Gọi \(A\left( {a;b;c} \right),\) tính tích vô hướng của \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {MA} .\)
- Từ đó suy ra tập hợp các điểm \(A\).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(A\left( {a;b;c} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {OA} = \left( {a;b;c} \right);\,\,\overrightarrow {MA} = \left( {a - 3;b - 1;c - 2} \right)\)
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {MA} = a\left( {a - 3} \right) + b\left( {b - 1} \right) + c\left( {c - 2} \right)\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 3a - b - 2c = - 3\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Mà \(A \in \left( S \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2} + {\left( {c + 2} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2a + 4c = - 1\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Trừ vế theo vế của (2) cho (1) ta có: \(a + b + 6c = 2 \Leftrightarrow a + b + 6c - 2 = 0\).
Vậy điểm A thuộc mặt phẳng \(x + y + 6z - 2 = 0.\)
Chọn A.
Câu hỏi trước
