Phương pháp giải:

- Xác định vị trí của A,B so với mặt phẳng \(\left( P \right)\).

- Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A,\,\,B\) lên \(\left( P \right)\), sử dụng định lí Ta-lét chứng minh \(\dfrac{{MA}}{{MB}} = \dfrac{{AH}}{{BK}} = \dfrac{{d\left( {A;\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( P \right)} \right)}}\).

- Khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là

\(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có\(\left\{ \begin{array}{l}{P_A} = 1 + 2.\left( { - 2} \right) - 4.3 - 7 =  - 22\\{P_B} = 3 + 2.2 - 4.\left( { - 2} \right) - 7 = 8\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {P_A}.{P_B} < 0 \Rightarrow A,\,\,B\) nằm khác phía so với mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A,\,\,B\) lên \(\left( P \right)\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot \left( P \right)\\BK \bot \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH\parallel BK\). Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{MA}}{{MB}} = \dfrac{{AH}}{{BK}} = \dfrac{{d\left( {A;\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( P \right)} \right)}}\).

Mà

\(\begin{array}{l}d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {1 + 2.\left( { - 2} \right) - 4.3 - 7} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \dfrac{{22}}{{\sqrt {21} }}\\d\left( {B;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {3 + 2.2 - 4.\left( { - 2} \right) - 7} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \dfrac{8}{{\sqrt {21} }}\end{array}\)

Vậy \(\dfrac{{MA}}{{MB}} = \dfrac{{d\left( {A;\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( P \right)} \right)}} = \dfrac{{22}}{8} = \dfrac{{11}}{4}.\)

Chọn D.