Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ của hàm số.

- Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\), tìm các nghiệm \({x_i} \in \left[ {0;4} \right]\).

- Tính các giá trị \(f\left( 0 \right),\,\,f\left( 4 \right),\,\,f\left( {{x_i}} \right)\).

- Kết luận: \(\mathop {max}\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( 0 \right),\,\,f\left( 4 \right),\,\,f\left( {{x_i}} \right)} \right\},\,\,\mathop {min}\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( 0 \right),\,\,f\left( 4 \right),\,\,f\left( {{x_i}} \right)} \right\}\).

Lời giải chi tiết:

Hàm số xác định trên \(\left[ {0;4} \right]\).

Ta có: \(f\left( x \right) = \left| {x - 3} \right|\sqrt {x + 1}  = \sqrt {\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 3} \right)}^2}} \).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){\left( {x - 3} \right)^2}\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) ta có:

\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) = {\left( {x - 3} \right)^2} + \left( {x + 1} \right).2\left( {x - 3} \right)\\g'\left( x \right) = \left( {x - 3} \right)\left( {x - 3 + 2x + 2} \right)\\g'\left( x \right) = \left( {x - 3} \right)\left( {3x - 1} \right)\\g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 \in \left[ {0;4} \right]\\x = \dfrac{1}{3} \in \left[ {0;4} \right]\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có: \(g\left( 0 \right) = 9,\,\,g\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{{256}}{{27}},\,\,g\left( 3 \right) = 0,\,\,f\left( 4 \right) = 5\).

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = \sqrt {g\left( {\dfrac{1}{3}} \right)}  = \dfrac{{16\sqrt 3 }}{9}\\N = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = \sqrt {g\left( 0 \right)}  = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M + 2N = \dfrac{{16\sqrt 3 }}{9}\).

Chọn A.