Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ của hàm số.

- Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\), tìm các nghiệm \({x_i} \in \left[ {1;5} \right]\).

- Tính các giá trị \(f\left( 1 \right),\,\,f\left( 5 \right),\,\,f\left( {{x_i}} \right)\).

- Kết luận: \(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( 1 \right);f\left( 5 \right);f\left( {{x_i}} \right)} \right\}\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\5 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le 5\end{array} \right. \Rightarrow D = \left[ {1;5} \right]\).

Ta có \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} - \dfrac{1}{{2\sqrt {5 - x} }} = \dfrac{{\sqrt {5 - x}  - \sqrt {x - 1} }}{{2\sqrt {x - 1} .\sqrt {5 - x} }}\).

Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {5 - x}  = \sqrt {x - 1} \) \( \Leftrightarrow 5 - x = x - 1\) \( \Leftrightarrow 2x = 6\) \( \Leftrightarrow x = 3 \in \left[ {1;5} \right]\).

Mặt khác \(f\left( 1 \right) = 2,\,\,f\left( 3 \right) = 2\sqrt 2 ,\,\,f\left( 5 \right) = 2\).

Vậy \(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = 2\sqrt 2 \).

Chọn C.