Phương pháp giải:

+ \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\)là tiếp điểm và \(\Delta \)là tiếp tuyến tại \(M\).

+ Phương trình tiếp tuyến tại\(M\)có dạng: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

+  Do \(\Delta \)đi qua \(A\left( {0; - 1} \right)\)nên thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình tìm \({x_0}\).

+  Thay ngược lại \({x_0}\) tìm phương trình tiếp tuyến.

Lời giải chi tiết:

+ \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\)là tiếp điểm và \(\Delta \)là tiếp tuyến tại \(M\).

+ Ta có:\(k = f'\left( {{x_0}} \right) =  - x_0^3 + 4{x_0}\)

+ Phương trình tiếp tuyến tại\(M\)có dạng:

\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\) \( \Leftrightarrow y = \left( { - x_0^3 + 4{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) - \dfrac{1}{4}x_0^4 + 2x_0^2 - 1\,\,\left( \Delta  \right)\)

+  Do \(\Delta \)đi qua \(A\left( {0; - 1} \right)\)nên:

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - 1 = \left( { - x_0^3 + 4{x_0}} \right)\left( { - {x_0}} \right) - \dfrac{1}{4}x_0^4 + 2x_0^2 - 1\\ \Leftrightarrow x_0^4 - 4x_0^2 - \dfrac{1}{4}x_0^4 + 2x_0^2 = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{4}x_0^4 - 2x_0^2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}\\{x_0} =  - \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

+ Với \({x_0} = 0\) thì \(\left( \Delta  \right):\,\,y =  - 1\).

+ Với \({x_0} = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}\) thì \(\left( \Delta  \right):\,\,y = \dfrac{{8\sqrt 6 }}{9}\left( {x - \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right) + \dfrac{{23}}{9}\)\( \Leftrightarrow y = \dfrac{{8\sqrt 6 }}{9}x - \dfrac{{41}}{9}\).

+ Với \({x_0} =  - \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}\) thì \(\left( \Delta  \right):\,\,y =  - \dfrac{{8\sqrt 6 }}{9}\left( {x - \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right) + \dfrac{{23}}{9}\)\( \Leftrightarrow y =  - \dfrac{{8\sqrt 6 }}{9}x + \dfrac{{55}}{9}\).

Vậy có ba tiếp tuyến thỏa mãn là: \(y =  - 1\), \(y = \dfrac{{8\sqrt 6 }}{9}x - \dfrac{{41}}{9}\), \(y =  - \dfrac{{8\sqrt 6 }}{9}x + \dfrac{{55}}{9}\).

Chọn A.