Phương pháp giải:

+ \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\)là tiếp điểm và \(\Delta \)là tiếp tuyến tại \(M\).

+ Phương trình tiếp tuyến tại\(M\)có dạng: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

+  Do \(\Delta \)đi qua \(A\left( {2;3} \right)\)nên thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình tìm \({x_0}\).

+  Thay ngược lại \({x_0}\) tìm phương trình tiếp tuyến.

Lời giải chi tiết:

+ \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\)là tiếp điểm và \(\Delta \)là tiếp tuyến tại \(M\).

+ Ta có:\(k = f'\left( {{x_0}} \right) = 6x_0^2 - 6{x_0}\)

+ Phương trình tiếp tuyến tại\(M\)có dạng:

\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\) \( \Leftrightarrow y = \left( {6x_0^2 - 6{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + 2x_0^3 - 3x_0^2 - 1\,\,\left( \Delta  \right)\)

+  Do \(\Delta \)đi qua \(A\left( {2;3} \right)\)nên:

\(\begin{array}{l}3 = \left( {6x_0^2 - 6{x_0}} \right)\left( {2 - {x_0}} \right) + 2x_0^3 - 3x_0^2 - 1\\ \Leftrightarrow 12x_0^2 - 6x_0^3 - 12{x_0} + 6x_0^2 + 2x_0^3 - 3x_0^2 - 4 = 0\\ \Leftrightarrow  - 4x_0^3 + 15x_0^2 - 12{x_0} - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} =  - \dfrac{1}{4}\\{x_0} = 2\end{array} \right.\end{array}\)

+ Với \({x_0} =  - \dfrac{1}{4}\) thì \(\left( \Delta  \right):\,\,y = \dfrac{{15}}{8}\left( {x + \dfrac{1}{4}} \right) - \dfrac{{39}}{{32}}\)\( \Leftrightarrow y = \dfrac{{15}}{8}x - \dfrac{{3}}{{4}}\).

+ Với \({x_0} =  2\) thì \(\left( \Delta  \right):\,\,y = 12\left( {x - 2} \right) + 3\)\( \Leftrightarrow y = 12x - 21\).

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là: \(y = \dfrac{{15}}{8}x- \dfrac{{3}}{{4}}\), \(y = 12x - 21\).

Chọn B.