Phương pháp giải:

Hệ số góc của đường thẳng là tan của góc tạo bởi đường thẳng và chiều dương của trục Ox.

Giải phương trình \(k = f'\left( {{x_0}} \right) = \tan {45^0}\)tìm \({x_0}\) và viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 2\) \( \Rightarrow \) Hệ số góc của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(k = y'\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2 - 2\).

Vì tiếp tuyến cần tìm tạo với chiều dương trục \(Ox\)một góc \({45^0}\) nên \(k = \tan {45^0} = 1\)

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(\left( {1;0} \right)\) là

\(y = 1.\left( {x - 1} \right) + 0\) \( \Leftrightarrow y = x - 1\)

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(\left( { - 1;2} \right)\) là

\(y = 1.\left( {x + 1} \right) + 2\)\( \Leftrightarrow y = x + 3\).

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là \(y = x-1\), \(y = x + 3\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\tan \alpha  = \left| {\dfrac{{a - a'}}{{1 + aa'}}} \right|\) với \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \(y = ax + b\) và \(y = a'x + b'\).

Giải phương trìnhtìm \({x_0}\) và viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 2\) \( \Rightarrow \) Hệ số góc của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(k = y'\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2 - 2\).

Vì tiếp tuyến cần tìm tạo với đường thẳng \(d:y =  - x + 1\)một góc \({45^0}\) nên ta có

\(\begin{array}{l}\tan {45^0} = \left| {\dfrac{{k - \left( { - 1} \right)}}{{1 + k.\left( { - 1} \right)}}} \right| \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{k + 1}}{{1 - k}}} \right| = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k + 1 = 1 - k\\k + 1 =  - 1 + k\,\,\left( {Vo\,\,nghiem} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow k = 0\\ \Leftrightarrow 3x_0^2 - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3} \Leftrightarrow {y_0} = \dfrac{{9 - 4\sqrt 6 }}{9}\\{x_0} =  - \dfrac{{\sqrt 6 }}{3} \Leftrightarrow {y_0} = \dfrac{{9 + 4\sqrt 6 }}{9}\end{array} \right.\end{array}\)

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(\left( {\dfrac{{\sqrt 6 }}{3};\dfrac{{9 - 4\sqrt 6 }}{9}} \right)\) là \(y = \dfrac{{9 - 4\sqrt 6 }}{9}\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(\left( {\dfrac{{\sqrt 6 }}{3};\dfrac{{9 + 4\sqrt 6 }}{9}} \right)\) là \(y = \dfrac{{9 + 4\sqrt 6 }}{9}\)

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là \(y = \dfrac{{9 \pm 4\sqrt 6 }}{9}\).

Chọn B.