Phương pháp giải:

Hai đường thẳng song song thì có hệ số góc bằng nhau.

Giải phương trình \(k = f'\left( {{x_0}} \right) =  - \dfrac{9}{2}\)tìm \({x_0}\) và viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

Chú ý loại phương trình đường thẳng nếu trùng với đường thẳng đã cho.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có: \(y' =  - \dfrac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) \( \Rightarrow \) Hệ số góc của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(k = y'\left( {{x_0}} \right) =  - \dfrac{2}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\).

Vì tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng \(d:y =  - \dfrac{9}{2}x + 3\)nên \(k = y'\left( {{x_0}} \right) =  - \dfrac{2}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} =  - \dfrac{9}{2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 1} \right)^2} = \dfrac{4}{9} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} - 1 = \dfrac{2}{3}\\{x_0} - 1 =  - \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = \dfrac{5}{3}\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow {y_0} = 4\\{x_0} = \dfrac{1}{3}\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow {y_0} =  - 2\end{array} \right.\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(\left( {\dfrac{5}{3};4} \right)\) là

\(y =  - \dfrac{9}{2}\left( {x - \dfrac{5}{3}} \right) + 4\)\( \Leftrightarrow y =  - \dfrac{9}{2}x + \dfrac{{23}}{2}\,\,\left( {tm} \right)\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(\left( {\dfrac{1}{3}; - 2} \right)\) là

\(y =  - \dfrac{9}{2}\left( {x - \dfrac{1}{3}} \right) - 2\)\( \Leftrightarrow y =  - \dfrac{9}{2}x - \dfrac{1}{2}\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là \(y =  - \dfrac{9}{2}x + \dfrac{{23}}{2}\), \(y =  - \dfrac{9}{2}x - \dfrac{1}{2}\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Hai đường thẳng vuông góc thì có tích hệ số góc bằng -1.

Giải phương trình \(f'\left( {{x_0}} \right).\dfrac{1}{8} =  - 1\)tìm \({x_0}\) và viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' =  - \dfrac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) \( \Rightarrow \) Hệ số góc của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(k = y'\left( {{x_0}} \right) =  - \dfrac{2}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\).

Vì tiếp tuyến cần tìm vuông góc với đường thẳng \(d:x - 8y + 544 = 0 \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{8}x + 68\) nên \(k.\dfrac{1}{8} =  - 1 \Leftrightarrow k =  - 8\)

\( \Leftrightarrow  - \dfrac{2}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} =  - 8 \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 1} \right)^2} = \dfrac{1}{4}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} - 1 = \dfrac{1}{2}\\{x_0} - 1 =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = \dfrac{3}{2}\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow {y_0} = 5\\{x_0} = \dfrac{1}{2}\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow {y_0} =  - 3\end{array} \right.\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(\left( {\dfrac{3}{2};5} \right)\) là

\(y =  - 8\left( {x - \dfrac{3}{2}} \right) + 5\)\( \Leftrightarrow y =  - 8x + 17\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(\left( {\dfrac{1}{2}; - 3} \right)\) là

\(y =  - 8\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right) - 3\)\( \Leftrightarrow y =  - 8x + 1\).

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là \(y =  - 8x + 17\), \(y =  - 8x + 1\).

Chọn D.