Câu hỏi
Cho hàm số\(y = f\left( x \right) = \dfrac{1}{4}{x^4} - 2{x^2}\,\,\,\left( C \right)\)
Câu 1:
Viết phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\)biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(d:y = 15x + 2\).
- A \(y = 15x +5\).
- B \(y = 15x -5\).
- C \(y = 15x\).
- D \(y = 15x - \dfrac{{171}}{4}\).
Phương pháp giải:
Hai đường thẳng song song thì có hệ số góc bằng nhau.
Giải phương trình \(k = f'\left( {{x_0}} \right) = 15\)tìm \({x_0}\) và viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).
Chú ý loại phương trình đường thẳng nếu trùng với đường thẳng đã cho.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(y' = {x^3} - 4x\) \( \Rightarrow \) Hệ số góc của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(k = y'\left( {{x_0}} \right) = x_0^3 - 4{x_0}\).
Vì tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng \(d:y = 15x + 2\)nên \(k = y'\left( {{x_0}} \right) = x_0^3 - 4{x_0} = 15\)\( \Leftrightarrow {x_0} = 3 \Leftrightarrow {y_0} = \dfrac{9}{4}\).
Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(\left( {3;\dfrac{9}{4}} \right)\) là
\(y = 15\left( {x - 3} \right) + \dfrac{9}{4}\)\( \Leftrightarrow y = 15x - \dfrac{{171}}{4}\,\,\left( {tm} \right)\).
Vậy có 1 tiếp tuyến thỏa mãn là \(y = 15x - \dfrac{{171}}{4}\).
Chọn D.
Câu 2:
Viết phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\)biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(d:8x + 45y + 2024 = 0\).
- A \(y = \dfrac{{45}}{8}x - \dfrac{{1075}}{{64}}\)
- B \(y = \dfrac{{45}}{8}x - \dfrac{{1075}}{{64}}\) \(y = \dfrac{{45}}{8}x + \dfrac{{5}}{{64}}\).
- C \(y = \dfrac{{45}}{8}x + \dfrac{{5}}{{64}}\).
- D \(y = \dfrac{{45}}{8}x - \dfrac{{559}}{{64}}\) \(y = \dfrac{{45}}{8}x + \dfrac{{875}}{{64}}\).
Phương pháp giải:
Hai đường thẳng vuông góc thì có tích hệ số góc bằng -1.
Giải phương trình \(f'\left( {{x_0}} \right).\dfrac{{ - 8}}{{45}} = - 1\)tìm \({x_0}\) và viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(y' = {x^3} - 4x\) \( \Rightarrow \) Hệ số góc của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(k = y'\left( {{x_0}} \right) = x_0^3 - 4{x_0}\).
Vì tiếp tuyến cần tìm vuông góc với đường thẳng \(d:8x + 45y + 2024 = 0 \Leftrightarrow y = - \dfrac{8}{{45}}x - \dfrac{{2024}}{{45}}\) nên \(k.\dfrac{{ - 8}}{{45}} = - 1 \Leftrightarrow k = \dfrac{{45}}{8}\)\( \Leftrightarrow x_0^3 - 4{x_0} = \dfrac{{45}}{8} \Leftrightarrow {x_0} = \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow {y_0} = - \dfrac{{175}}{{64}}\).
Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(\left( {\dfrac{5}{2};\dfrac{{ - 175}}{{64}}} \right)\) là
\(y = \dfrac{{45}}{8}\left( {x - \dfrac{5}{2}} \right) - \dfrac{{175}}{{64}}\)\( \Leftrightarrow y = \dfrac{{45}}{8}x - \dfrac{{1075}}{{64}}\).
Vậy có 1 tiếp tuyến thỏa mãn là \(y = \dfrac{{45}}{8}x - \dfrac{{1075}}{{64}}\).
Chọn A.
Câu hỏi trước
