Phương pháp giải:

Hai đường thẳng song song thì có hệ số góc bằng nhau.

Giải phương trình \(k = f'\left( {{x_0}} \right) =  - \dfrac{{15}}{9}\)tìm \({x_0}\) và viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

Chú ý loại phương trình đường thẳng nếu trùng với đường thẳng đã cho.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = 12{x^2} - 3\) \( \Rightarrow \) Hệ số góc của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(k = y'\left( {{x_0}} \right) = 12x_0^2 - 3\).

Vì tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng \(d:y =  - \dfrac{{15}}{9}x + 10\)nên \(k = y'\left( {{x_0}} \right) = 12x_0^2 - 3 =  - \dfrac{{15}}{9}\).

\( \Leftrightarrow 12x_0^2 = \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow x_0^2 = \dfrac{1}{9}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {y_0} =  - \dfrac{{50}}{{27}}\\{x_0} =  - \dfrac{1}{3} \Rightarrow {y_0} =  - \dfrac{4}{{27}}\end{array} \right.\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(\left( {\dfrac{1}{3}; - \dfrac{{50}}{{27}}} \right)\) là

\(y =  - \dfrac{{15}}{9}\left( {x - \dfrac{1}{3}} \right) - \dfrac{{50}}{{27}}\)\( \Leftrightarrow y =  - \dfrac{{15}}{9}x - \dfrac{{35}}{{27}}\,\,\left( {tm} \right)\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(\left( { - \dfrac{1}{3}; - \dfrac{4}{{27}}} \right)\) là

\(y =  - \dfrac{{15}}{9}\left( {x + \dfrac{1}{3}} \right) - \dfrac{4}{{27}}\)\( \Leftrightarrow y =  - \dfrac{{15}}{9}x - \dfrac{{19}}{{27}}\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là \(y =  - \dfrac{{15}}{9}x - \dfrac{{35}}{{27}}\), \(y =  - \dfrac{{15}}{9}x - \dfrac{{19}}{{27}}\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Hai đường thẳng vuông góc thì có tích hệ số góc bằng -1.

Giải phương trình \(f'\left( {{x_0}} \right).\dfrac{{ - 1}}{{72}} =  - 1\)tìm \({x_0}\) và viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = 12{x^2} - 3\) \( \Rightarrow \) Hệ số góc của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(k = y'\left( {{x_0}} \right) = 12x_0^2 - 3\).

Vì tiếp tuyến cần tìm vuông góc với đường thẳng \(d:y =  - \dfrac{x}{{72}} + 1\) nên \(k.\dfrac{{ - 1}}{{72}} =  - 1 \Leftrightarrow k = 72\).

\(12x_0^2 - 3 = 72 \Leftrightarrow x_0^2 = \dfrac{{25}}{4}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = \dfrac{5}{2} \Rightarrow {y_0} = 54\\{x_0} =  - \dfrac{5}{2} \Rightarrow {y_0} =  - 56\end{array} \right.\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(\left( {\dfrac{5}{2};54} \right)\) là

\(y = 72\left( {x - \dfrac{5}{2}} \right) + 54\)\( \Leftrightarrow y = 72x - 126\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(\left( { - \dfrac{5}{2}; - 56} \right)\) là

\(y = 72\left( {x + \dfrac{5}{2}} \right) - 56\)\( \Leftrightarrow y = 72x + 124\).

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là \(y = 72x - 126\), \(y = 72x + 124\).

Chọn C.