Phương pháp giải:

Cho \(x = 0\), tìm giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục \(Oy\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là

\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Cho \(x = 0 \in D\) ta có \( \Rightarrow y =  - 3\)\( \Rightarrow \) Giao điểm của \(\left( C \right)\) và trục \(Oy\) là \(\left( {0; - 3} \right)\).

Ta có: \(y' = \dfrac{{2\left( {x + 1} \right) - \left( {2x - 3} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{5}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) \( \Rightarrow y'\left( 0 \right) = \dfrac{5}{1} = 5\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(\left( {0; - 3} \right)\) là

\(y = 5\left( {x - 0} \right) - 3\)\( \Leftrightarrow y = 5x - 3\).

Chọn A. 

Phương pháp giải:

Giải phương trình hoành độ giao điểm, tìm giao điểm của \(\left( C \right)\)với đường thẳng \(d:y = x - 3\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là

\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\dfrac{{2x - 3}}{{x + 1}} = x - 3\,\,\left( {x \ne  - 1} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x - 3 = \left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)\\ \Leftrightarrow 2x - 3 = {x^2} - 2x - 3\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y =  - 3\\x = 4 \Rightarrow y = 1\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Giao điểm của \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(y = x - 3\) là \(\left( {0; - 3} \right)\) và \(\left( {4;1} \right)\).

Ta có: \(y' = \dfrac{5}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) \( \Rightarrow y'\left( 0 \right) = 5\) và \(y'\left( 4 \right) = \dfrac{1}{5}\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(\left( {0; - 3} \right)\) là

\(y = 5\left( {x - 0} \right) - 3\)\( \Leftrightarrow y = 5x - 3\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(\left( {4;1} \right)\) là

\(y = \dfrac{1}{5}\left( {x - 4} \right) + 1\)\( \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{5}x + \dfrac{1}{5}\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Giải phương trình \(k = f'\left( {{x_0}} \right) = \dfrac{5}{9}\)tìm \({x_0}\) và viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = \dfrac{5}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) \( \Rightarrow \) Hệ số góc của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(k = y'\left( {{x_0}} \right) = \dfrac{5}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\).

\( \Rightarrow \dfrac{5}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{5}{9} \Leftrightarrow {\left( {{x_0} + 1} \right)^2} = 9\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} + 1 = 3\\{x_0} + 1 =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow {y_0} = \dfrac{1}{3}\\{x_0} =  - 4\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow {y_0} = \dfrac{{11}}{3}\end{array} \right.\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\)tại điểm \(\left( {2;\dfrac{1}{3}} \right)\) là:

\(y = \dfrac{5}{9}\left( {x - 2} \right) + \dfrac{1}{3}\)\( \Leftrightarrow y = \dfrac{5}{9}x - \dfrac{7}{9}\) .

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\)tại điểm \(\left( { - 4;\dfrac{{11}}{3}} \right)\) là:

\(y = \dfrac{5}{9}\left( {x + 4} \right) + \dfrac{{11}}{3}\)\( \Leftrightarrow y = \dfrac{5}{9}x + \dfrac{{53}}{9}\) .

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là \(y = \dfrac{5}{9}x - \dfrac{7}{9}\), \(y = \dfrac{5}{9}x + \dfrac{{53}}{9}\).

Chọn C.