Phương pháp giải:

Cho \(y = 0\), tìm giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục \(Ox\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là

\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Cho \(y = 0\) ta có \( - {x^4} + 2{x^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0^2} = 3\\{x_0^2} =  - 1\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = \sqrt 3 \\{x_0} =  - \sqrt 3 \end{array} \right.\) .

\( \Rightarrow \) Giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục \(Ox\) là điểm \(\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\) và \(\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\).

Ta có: \(y' =  - 4{x^3} + 4x \Rightarrow y'\left( {\sqrt 3 } \right) =  - 8\sqrt 3 \), \(y'\left( { - \sqrt 3 } \right) = 8\sqrt 3 \).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\) là

\(y =  - 8\sqrt 3 \left( {x - \sqrt 3 } \right) + 0\)\( \Leftrightarrow y =  - 8\sqrt 3 x + 24\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\) là

\(y = 8\sqrt 3 \left( {x + \sqrt 3 } \right) + 0\)\( \Leftrightarrow y = 8\sqrt 3 x + 24\).

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là: \(y =  \pm 8\sqrt 3 x + 24\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Giải phương trình hoành độ giao điểm, tìm giao điểm của \(\left( C \right)\)với đường thẳng \(y = 4\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là

\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \( - {x^4} + 2{x^2} + 3 = 4\) \( \Leftrightarrow x_0^2 = 1 \Leftrightarrow {x_0} =  \pm 1\)

Ta có: \(y' =  - 4{x^3} + 4x \Rightarrow y'\left( { \pm 1} \right) = 0\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(\left( {1;4} \right)\) và \(\left( { - 1;4} \right)\) là

\(y = 0\left( {x \pm 1} \right) + 4\)\( \Leftrightarrow y =  4\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Giải phương trình \(f''\left( {{x_0}} \right) = 0\)tìm \({x_0}\) và viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f'\left( x \right) =  - 4{x^3} + 4x \Rightarrow f''\left( x \right) =  - 12{x^2} + 4\).

\(f''\left( {{x_0}} \right) =  - 12{x_0} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow {y_0} = \dfrac{{32}}{9}\\{x_0} =  - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow {y_0} = \dfrac{{32}}{9}\end{array} \right.\).

Ta có: \(f'\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = \dfrac{{8\sqrt 3 }}{9},\,\,f'\left( { - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) =  - \dfrac{{8\sqrt 3 }}{9}\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\)tại điểm \(\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }};\dfrac{{32}}{9}} \right)\) là:

\(y = \dfrac{{8\sqrt 3 }}{9}\left( {x - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) + \dfrac{{32}}{9}\)\( \Leftrightarrow y = \dfrac{{8\sqrt 3 }}{9}x + \dfrac{8}{3}\) .

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\)tại điểm \(\left( { - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }};\dfrac{{32}}{9}} \right)\) là:

\(y =  - \dfrac{{8\sqrt 3 }}{9}\left( {x + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) + \dfrac{{32}}{9}\)\( \Leftrightarrow y =  - \dfrac{{8\sqrt 3 }}{9}x + \dfrac{8}{3}\) .

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là \( \Leftrightarrow y =  \pm \dfrac{{8\sqrt 3 }}{9}x + \dfrac{8}{3}\).

Chọn D.