Phương pháp giải:

Cho \(y = 0\), tìm giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục \(Ox\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là

\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Cho \(y = 0\) ta có \(y = {x^3} + 2{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

\( \Rightarrow \) Giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục \(Ox\) là điểm \(\left( {1;0} \right)\).

Ta có: \(y' = 3{x^2} + 4x \Rightarrow y'\left( 1 \right) = 7\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(\left( {1;0} \right)\) là

\(y = 7\left( {x - 1} \right) + 0\)\( \Leftrightarrow y = 7x - 7\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Cho \(x = 0\), tìm giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục \(Oy\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là

\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Cho \(x = 0\) ta có \(y =  - 3\) \( \Rightarrow \) Giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục \(Oy\) là điểm \(\left( {0; - 3} \right)\).

Ta có: \(y' = 3{x^2} + 4x \Rightarrow y'\left( 0 \right) = 0\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(\left( {0; - 3} \right)\) là

\(y = 0\left( {x - 0} \right) - 3\)\( \Leftrightarrow y =  - 3\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Giải phương trình \(k = y'\left( {{x_0}} \right) =  - 1\), tìm \({x_0}\) và viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = 3{x^2} + 4x\) \( \Rightarrow \) Hệ số góc của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(k = 3x_0^2 + 4{x_0}\).

\( \Rightarrow 3x_0^2 + 4{x_0} =  - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} =  - \dfrac{1}{3} \Rightarrow {y_0} =  - \dfrac{{76}}{{27}}\\{x_0} =  - 1 \Rightarrow {y_0} =  - 2\end{array} \right.\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\)tại điểm \(\left( { - \dfrac{1}{3}; - \dfrac{{76}}{{27}}} \right)\) là:

\(y =  - 1\left( {x + \dfrac{1}{3}} \right) - \dfrac{{76}}{{27}}\)\( \Leftrightarrow y =  - x - \dfrac{{85}}{{27}}\) .

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\)tại điểm \(\left( { - 1; - 2} \right)\) là:

\(y =  - 1\left( {x + 1} \right) - 2\)\( \Leftrightarrow y =  - x - 3\) .

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là \(y =  - x - \dfrac{{85}}{{27}}\), \(y =  - x - 3\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Tìm GTNN của \(k = y'\left( {{x_0}} \right)\), tìm \({x_0}\) để biểu thức đó đạt GTNN.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là

\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = 3{x^2} + 4x\) \( \Rightarrow \) Hệ số góc của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(k = 3x_0^2 + 4{x_0}\).

Ta có: \(k = 3x_0^2 + 4{x_0} = 3\left( {x_0^2 + \dfrac{4}{3}{x_0}} \right)\)\( = 3\left( {x_0^2 + 2.{x_0}.\dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{9}} \right) - \dfrac{4}{3}\) \( = 3{\left( {{x_0} + \dfrac{2}{3}} \right)^2} - \dfrac{4}{3} \ge  - \dfrac{4}{3}\)

\( \Rightarrow {k_{\min }} =  - \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow {x_0} =  - \dfrac{2}{3}\), khi đó \({y_0} =  - \dfrac{{65}}{{27}}\).

Vậy phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0} =  - \dfrac{2}{3}\) là:

\(y =  - \dfrac{4}{3}\left( {x + \dfrac{2}{3}} \right) - \dfrac{{65}}{{27}}\) \( \Leftrightarrow y =  - \dfrac{4}{3}x - \dfrac{{89}}{{27}}\).

Chọn C.