Phương pháp giải:

+ \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\)là tiếp điểm và \(\Delta \)là tiếp tuyến tại \(M\).

+ Phương trình tiếp tuyến tại\(M\)có dạng: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

+  Do \(\Delta \)đi qua \(A\left( {3;4} \right)\)nên thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình tìm \({x_0}\).

+  Thay ngược lại \({x_0}\) tìm phương trình tiếp tuyến.

Lời giải chi tiết:

+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

+ \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\)là tiếp điểm và \(\Delta \)là tiếp tuyến tại \(M\).

+ Ta có:\(k = f'\left( {{x_0}} \right) = \dfrac{4}{{{{\left( {2 - {x_0}} \right)}^2}}}\)

+ Phương trình tiếp tuyến tại\(M\)có dạng:

\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\) \( \Leftrightarrow y = \dfrac{4}{{{{\left( {2 - {x_0}} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{{x_0} + 2}}{{2 - {x_0}}}\,\,\left( \Delta  \right)\)

+  Do \(\Delta \)đi qua \(A\left( {3;4} \right)\)nên:

\(\begin{array}{l}4 = \dfrac{4}{{{{\left( {2 - {x_0}} \right)}^2}}}\left( {3 - {x_0}} \right) + \dfrac{{{x_0} + 2}}{{2 - {x_0}}}\\ \Leftrightarrow 4{\left( {2 - {x_0}} \right)^2} = 4\left( {3 - {x_0}} \right) + \left( {{x_0} + 2} \right)\left( {2 - {x_0}} \right)\\ \Leftrightarrow 4x_0^2 - 16{x_0} + 16 = 12 - 4{x_0} + 4 - x_0^2\\ \Leftrightarrow 5x_0^2 - 12{x_0} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = \dfrac{{12}}{5}\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

+ Với \({x_0} = 0\) thì \(\left( \Delta  \right):\,\,y = 1.\left( {x - 0} \right) + 1\)\( \Leftrightarrow y = x + 1\).

+ Với \({x_0} = \dfrac{{12}}{5}\) thì \(\left( \Delta  \right):\,\,y = 25\left( {x - \dfrac{{12}}{5}} \right) - 11\)\( \Leftrightarrow y = 25x - 71\).

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là: \(y = x + 1\), \(y = 25x - 71\).

Chọn B.