Phương pháp giải:

- Vẽ đồ thị hàm số, xác định các giao điểm.

- Chia diện tích cần tính thành các diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), \(x = a,\,\,x = b\).

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

Xét các phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l} - x = x - 2 \Leftrightarrow x = 1\\x - 2 = \sqrt x  \Leftrightarrow x = 4\end{array}\)

Ta xác định được \({x_A} = 1,\,\,{x_B} = 4\).

Diện tích hình phẳng cần tính bao gồm:

- \({S_1}\): Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x ,\,\,y =  - x\), \(x = 0,\,\,x = 1\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_1} = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x  - \left( { - x} \right)} \right)dx}  = \left. {\left( {\dfrac{2}{3}\sqrt {{x^3}}  + \dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2} - 0 = \dfrac{7}{6}\end{array}\)

- \({S_2}\): Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x ,\,\,y = x - 2\), \(x = 1,\,\,x = 4\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_1} = \int\limits_1^4 {\left( {\sqrt x  - \left( {x - 2} \right)} \right)dx}  = \left. {\left( {\dfrac{2}{3}\sqrt {{x^3}}  - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_1^4\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{2}{3}.8 - 8 + 8 - \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2} - 2 = \dfrac{{19}}{6}\end{array}\)

Vậy diện tích cần tính là: \(S = {S_1} + {S_2} = \dfrac{7}{6} + \dfrac{{19}}{6} = \dfrac{{13}}{3}\).

Chọn D.