Phương pháp giải:

- Xác định hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số dựa vào đồ thị đề bài cho.

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) .

- Xét dấu biểu thức trong trị tuyệt đối và phá trị tuyệt đối.

Lời giải chi tiết:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số là \(\left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 2\end{array} \right.\).

Do đó diện tích phần gạch chéo là: \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| { - {x^2} + 2 - {x^2} + 2x + 2} \right|dx}  = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| { - 2{x^2} + 2x + 4} \right|dx} \).

Xét trên \(\left[ { - 1;2} \right]\) ta thấy đồ thị hàm số \(y =  - {x^2} + 2\) nằm phía trên đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 2x - 2\) nên \( - 2{x^2} + 2x + 4 \ge 0\,\,\forall x \in \left[ { - 1;2} \right]\), do đó \(\left| { - 2{x^2} + 2x + 4} \right| =  - 2{x^2} + 2x + 4\) \(\forall x \in \left[ { - 1;2} \right]\).

Vậy  \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - 2{x^2} + 2x + 4} \right)dx} \).

Chọn A.