Phương pháp giải:

Thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) là: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(\sqrt {2 + \sin x}  = 0 \Leftrightarrow \sin x =  - 2\) (vô nghiệm).

Khi đó ta có khối tròn xoay \(D\) tạo thành khi quay \(D\) quanh trục hoành có thể tích \(V\) bằng:

\(\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^\pi  {\left( {2 + \sin x} \right)dx}  = \left. {\pi \left( {2x - \cos x} \right)} \right|_0^\pi \\\,\,\,\, = \pi \left( {2\pi  + 1 + 1} \right) = 2\pi \left( {\pi  + 1} \right)\end{array}\)

Chọn B.