Phương pháp giải:

+ Xác định tọa độ của hai điểm \(A\) và \(B\)lần lượt là giao điểm của đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) với \(d\).

+ Xác định tọa độ thỏa mãn đề bài: \(MA = 2MB\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử đường thẳng \(d\) cắt \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) lần lượt tại hai điểm \(A\) và \(B\).

Ta có:

\(\left( {{C_1}} \right):\,\,{x^2} + {\rm{ }}{y^2}--2x--2y + 1 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{I_1}\left( {1;\,\,1} \right)\\{R_1} = 1\end{array} \right.\)

\(({C_2}):\,\,{x^2} + {\rm{ }}{y^2} + 4x--5 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I\left( { - 2;\,\,0} \right)\\{R_2} = 3\end{array} \right.\)

Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(M\) có véc tơ chỉ phương \(\vec u = \left( {a;\,\,b} \right) \Rightarrow d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + at\\y = bt\end{array} \right.\).

Đường thẳng \(d\) cắt \(\left( {{C_1}} \right)\) tại \(A\) nên tọa  độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {\rm{ }}{y^2}--2x--2y + 1 = 0\\x = 1 + at\\y = bt\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {\left( {1 + at} \right)^2} + {b^2}{t^2} - 2\left( {1 + at} \right) - 2bt + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow 1 + 2at + {a^2}{t^2} + {b^2}{t^2} - 2 - 2at - 2bt + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow {a^2}{t^2} + {b^2}{t^2} - 2bt = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right){t^2} - 2bt = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = \frac{{2b}}{{{a^2} + {b^2}}}\end{array} \right.\)

Với \(t = 0 \Rightarrow M\left( {1;\,\,0} \right)\)

Với \(t = \frac{{2b}}{{{a^2} + {b^2}}} \Rightarrow A\left( {1 + \frac{{2ab}}{{{a^2} + {b^2}}};\frac{{2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)\)

Đường thẳng \(d\) cắt \(\left( {{C_2}} \right)\) tại \(B\) nên tọa  độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {\rm{ }}{y^2} + 4x--5 = 0\\x = 1 + at\\y = bt\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {\left( {1 + at} \right)^2} + {b^2}{t^2} + 4.\left( {1 + at} \right) - 5 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right){t^2} + 6at = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t =  - \frac{{6a}}{{{a^2} + {b^2}}}\end{array} \right.\)

Với \(t = 0 \Rightarrow M\left( {1;\,\,0} \right)\)

Với \(t =  - \frac{{6a}}{{{a^2} + {b^2}}}\)\( \Rightarrow B\left( {1 - \frac{{6{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}};\,\, - \frac{{6ab}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)\)

Theo đề bài, ta có: \(MA = 2MB \Leftrightarrow M{A^2} = 4M{B^2}\)

\( \Rightarrow {\left( {\frac{{2ab}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)^2} = 4\left[ {{{\left( {\frac{{6{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{6ab}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)}^2}} \right]\)

\( \Leftrightarrow \frac{{4{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = 4.\frac{{36{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} \Leftrightarrow {b^2} = 36{a^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 6a\\b =  - 6a\end{array} \right.\)

Với \(b =  - 6a \Rightarrow d:6x + y - 6 = 0\)

Với \(b = 6a \Rightarrow d:6x - y - 6 = 0\)

Chọn  D