Phương pháp giải:

+ Xác định tâm và bán kính của đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\).

+ Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và nhận \(\vec u = \left( {a;\,\,b} \right)\) là VTCP.

+ Xác định tọa độ \(B\) và \(C\) lần lượt là giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) với \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\).

+ Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) cắt \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau thì \(A\) là trung điểm của \(BC\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left( {{C_1}} \right):\,\,{x^2} + {y^2} = 13 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I\left( {0;0} \right)\\{R_1} = \sqrt {13} \end{array} \right.\) và \(\left( {{C_2}} \right):\,\;{\left( {x - 6} \right)^2} + {y^2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}J\left( {6;\,\,0} \right)\\{R_2} = \sqrt {25} \end{array} \right.\)

Gọi đường thẳng \(d\) qua \(A\left( {2;\,\,3} \right)\) có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right) \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 3 + bt\end{array} \right.\).

Vì \(d\) cắt \(\left( {{C_1}} \right)\) tại \(A\), \(B\) nên tọa điểm \(A\) và  \(B\) là nghiệm của hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 3 + bt\\{x^2} + {y^2} = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\left( {{a^2} + {b^2}} \right){t^2} + 2\left( {2a + 3b} \right)t} \right] = 0 \Rightarrow t =  - \frac{{2a + 3b}}{{{a^2} + {b^2}}}\) \( \Rightarrow B\left( {\frac{{b\left( {2b - 3a} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}};\,\,\frac{{a\left( {3a - 2b} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)\).

Tương tự \(d\) cắt \(\left( {{C_2}} \right)\) tại \(A\), \(C\) thì tọa độ của \(A\),\(C\) là nghiệm của hệ phương trình:

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 3 + bt\\{\left( {x - 6} \right)^2} + {y^2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow t = \frac{{2\left( {4a - 3b} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}} \Leftrightarrow C\left( {\frac{{10{a^2} - 6ab + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}};\,\,\frac{{3{a^2} + 8ab - 3{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)\)

Nếu 2 dây cung bằng nhau thì \(A\) là trung điểm của \(BC\). Từ đó ta có phương trình :

\(a = 0 \Rightarrow d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3 + t\end{array} \right.\)

\(a = \frac{3}{2}b \Rightarrow \vec u = \left( {\frac{3}{2}b;\,\,b} \right){\rm{ // }}\overrightarrow {u'}  = \left( {3;\,\,2} \right) \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {2{b^2} - 3ab} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{10{a^2} - 6ab + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = 4 \Leftrightarrow 6{a^2} - 9ab = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

Vậy có 2 đường thẳng \(d\) là: \(d:x - 2 = 0\) và \(d:2x - 3y + 5 = 0\).

Chọn  A