Phương pháp giải:

+) Chứng minh đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua tâm \(I\)của đường tròn \(\left( C \right)\)

+) Đường tròn \(\left( C \right)\) nội tiếp hình vuông \(ABCD\) nên tọa độ điểm \(A\) là giao điểm của \(AI\) và hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\)

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 8x + 6y + 21 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I\left( {4;\,\, - 3} \right)\\R = 2\end{array} \right.\)

Thay \(I\left( {4;\,\, - 3} \right)\) vào phương trình \(d:x + y - 1 = 0\) ta được: \(4 + \left( { - 3} \right) - 1 = 0\)

\( \Rightarrow I\left( {4;\,\, - 3} \right) \in d\)

Vì \(A \in d\) và \(I \in d\) nên \(AI\) là đường chéo của hình vuông ngoại tiếp đường tròn có bán kính \(R = 2.\)

Vậy \(AI\) là một đường chéo của hình vuông ngoại tiếp đường tròn, có bán kính \(R = 2\); \(x = 2\) và \(x = 6\) là \(2\) tiếp tuyến của \(\left( C \right)\)  nên ta có:

Trường hợp \(1\): \(A\) là giao điểm các đường \(d\) và \(x = 2 \Rightarrow A\left( {2;\,\, - 1} \right)\)

Trường hợp \(2\): \(A\) là giao điểm các đường \(d\) và \(x = 6 \Rightarrow A\left( {6;\,\, - 5} \right)\)

Vậy \(A\left( {2;\,\, - 1} \right)\) và \(A\left( {6;\,\, - 5} \right)\).

Chọn  D