Phương pháp giải:

Xác định tâm \(I\)và bán kính \(R\) của đường tròn \(\left( C \right)\).

+) Nếu \(I \in \left( \Delta  \right)\) thì độ dài dây cung bằng đường kính của đường tròn \(\left( C \right)\).

+) Nếu \(I \notin \left( \Delta  \right)\) thì xác định tọa độ giao điểm của \(\left( \Delta  \right)\) và \(\left( C \right)\).

Lời giải chi tiết:

Cách 1: Đường tròn \(\left( C \right):\,\,{(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\) có tâm \(I\left( {a;\,\,b} \right)\) và bán kính \(R\).

Vì \(a + b - a - b = 0\) nên điểm \(I\left( {a;\,\,b} \right)\) thuộc đường thẳng \(\left( d \right)\)

Suy ra, đường tròn \(\left( C \right)\) cắt đường thẳng \(\left( d \right)\) theo một dây cung có độ dài bằng đường kính \( = 2R\).

Cách 2:

Tọa độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( d \right)\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\\x + y - a - b = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\\y = a + b - x\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {x - a} \right)^2} = {R^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a + \frac{R}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow y = b - \frac{R}{{\sqrt 2 }}\\x = a - \frac{R}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow y = b + \frac{R}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\)

Vậy tọa độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( d \right)\) là \(A\left( {a + \frac{R}{{\sqrt 2 }};\,\,b - \frac{R}{{\sqrt 2 }}} \right)\) và \(B\left( {a - \frac{R}{{\sqrt 2 }};\,\,b + \frac{R}{{\sqrt 2 }}} \right)\).

\(AB = \sqrt {{{\left( {a - \frac{R}{{\sqrt 2 }} - a - \frac{R}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( {b + \frac{R}{{\sqrt 2 }} - b + \frac{R}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( { - \frac{{2R}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{{2R}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}  = \sqrt {2 \cdot \frac{{4{R^2}}}{2}}  = \sqrt {4{R^2}}  = 2R\)

Vậy \(AB = 2R\).

Chọn  A