Phương pháp giải:

Xác định tọa độ của hai điểm \(M\) và \(N\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(M \in d \Rightarrow M\left( {3b + 4;\,\,b} \right)\)

Vì \(N\) đối xứng với \(M\) qua \(A\left( {3;\,\,1} \right)\) suy ra \(N\left( {2 - 3b;\,\,2 - b} \right)\).

Mặt khác, \(N \in \left( C \right)\) nên ta có: \({\left( {2 - 3b} \right)^2} + {\left( {2 - b} \right)^2} - 4\left( {2 - b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\b = \frac{6}{5}\end{array} \right.\)

+) Với \(b = 0 \Rightarrow M\left( {4;\,\,0} \right)\) và \(N\left( {2;\,\,2} \right)\)\( \Rightarrow MN = \sqrt {{{\left( {2 - 4} \right)}^2} + {{\left( {2 - 0} \right)}^2}}  = \sqrt {{2^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 2 \)

+) Với \(b = \frac{6}{5} \Rightarrow M\left( {\frac{{38}}{5};\,\,\frac{6}{5}} \right)\) và \(N\left( { - \frac{8}{5};\,\,\frac{4}{5}} \right) \Rightarrow MN = \sqrt {{{\left( { - \frac{8}{5} - \frac{{38}}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{4}{5} - \frac{6}{5}} \right)}^2}}  = \sqrt {\frac{{6088}}{{25}}} \)

Vậy \(MN = 2\sqrt 2 \) và \(MN = \sqrt {\frac{{6088}}{{25}}} \).

Chọn  B