Phương pháp giải:

+) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng \(\left( d \right)\).

+) Xác định khoảng cách từ điểm \(I\) đến đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) và sau đó tìm \(m\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left( C \right):\,\,{\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I\left( { - 4;\,\,3} \right)\\R = 5\end{array} \right.\)

Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\), \(AH = 3\).

Do \(d \bot \Delta \) nên phương trình của \(d\) có dạng: \(4x + 3y + m = 0\)

Ta có: \(d\left( {I,\,\,\left( \Delta  \right)} \right) = IH = \sqrt {A{I^2} - A{H^2}}  = \sqrt {{5^2} - {3^2}}  = 4\)

\( \Rightarrow \frac{{\left| {4.\left( { - 4} \right) + 3.3 + m} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 4\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 16 + 9 + m} \right|}}{5} = 4 \Leftrightarrow \left| { - 7 + m} \right| = 20 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 7 + m = 20\\ - 7 + m =  - 20\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 27\\m =  - 13\end{array} \right.\)

Với \(m = 27\) suy ra \(d:\,\,4x + 3y + 27 = 0\)

Với \(m =  - 13\) suy ra \(d:\,\,4x + 3y - 13 = 0\)

Vậy \(d:\,\,4x + 3y + 27 = 0\) hoặc \(d:\,\,4x + 3y - 13 = 0\).

Chọn  D