Phương pháp giải:

Để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt đường tròn \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\) thì \(d\left( {I,\,\,\left( d \right)} \right) < R\).

Lời giải chi tiết:

\(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I\left( {1;\,\, - 2} \right)\\R = 3\end{array} \right.\)

\(\left( d \right)\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\)\( \Leftrightarrow d\left( {I,\,\,\left( d \right)} \right) < R\)

\( \Leftrightarrow \left| {\sqrt 2  - 2m + 1 - \sqrt 2 } \right| < 3\sqrt {2 + {m^2}} \)

\( \Leftrightarrow 1 - 4m + 4{m^2} < 18 + 9{m^2}\)

\( \Leftrightarrow 5{m^2} + 4m + 17 > 0\)

\( \Leftrightarrow 5.\left( {{m^2} + 2 \cdot m \cdot \frac{2}{5} + \frac{4}{5}} \right) + 13 > 0\)

\( \Leftrightarrow 5.{\left( {m + \frac{2}{5}} \right)^2} + 13 > 0\) luôn đúng với \(\forall m\)

Vậy \(m \in \mathbb{R}.\)

Chọn  C