Phương pháp giải:

+) Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\)cắt \(\left( d \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\) thì \(d\left( {I,\,\,\left( d \right)} \right) < R\).

+) Áp dụng CT tính diện tích tam giác.

Lời giải chi tiết:

\(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O\left( {0;\,\,0} \right)\\R = 1\end{array} \right.\)

Vì \(\left( d \right)\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\) nên \(d\left( {O;\,\,d} \right) < R \Rightarrow d\left( {O;\,\,d} \right) < 1\).

Ta có: \({S_{OAB}} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB \cdot \sin \widehat {AOB} = \frac{1}{2} \cdot \sin \widehat {AOB} \le \frac{1}{2}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi \(\widehat {AOB} = {90^0}\).

\( \Rightarrow {S_{\Delta OAB}}\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \widehat {AOB} = {90^0}\).

\( \Rightarrow \Delta OAB\) là tam giác vuông cân tại \(O\).

\( \Rightarrow d\left( {O;\,\,d} \right) = \frac{{\left| {1\,\,.\,\,0 + 1\,\,.\,\,0 + m} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| m \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left| m \right| = 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 1\end{array} \right.\)

Vậy \(m =  \pm 1\).

Chọn  C