Phương pháp giải:

+) Viết phương trình đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) đi qua hai điểm \(B\) và \(C\).

+) Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\)với \(\left( C \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 5 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I\left( {1;2} \right)\\R = \sqrt {10} \end{array} \right.\)

Để \(\Delta ABC\) đều thì \(I\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

\(A\left( {0;\,\, - 1} \right),\,\,I\left( {1;\,\,2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AI}  = \left( {1;\,\,3} \right)\)

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\). Suy ra, \(\overrightarrow {AI}  = 2\,.\,\overrightarrow {IH}  \Rightarrow H\left( {\frac{3}{2};\,\,\frac{7}{2}} \right)\).

Ta có:

\(\left( {BC} \right):\left\{ \begin{array}{l}{\mathop{\rm qua}\nolimits} \,H\left( {\frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right)\\{{\vec n}_{BC}} = \overrightarrow {AI}  = \left( {1;\,\,3} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {BC} \right):\,\,1\,\,.\,\,\left( {x - \frac{3}{2}} \right) + 3\,\,.\,\,\left( {y - \frac{7}{2}} \right) = 0\)\( \Rightarrow \left( {BC} \right):\,\,x + 3y - 12 = 0\)

Vì \(B,\,\,C \in \left( C \right)\) nên tọa độ của \(B\) và \(C\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 5 = 0\\x + 3y - 12 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 5 = 0\\x = 12 - 3y\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {\left( {12 - 3y} \right)^2} + {y^2} - 2\left( {12 - 3y} \right) - 4y - 5 = 0\)

\( \Leftrightarrow 144 - 72y + 9{y^2} + {y^2} - 24 + 6y - 4y - 5 = 0\)

\( \Leftrightarrow 10{y^2} - 70y + 115 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \frac{{3 - 3\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow x = \frac{{7 + \sqrt 3 }}{2}\\y = \frac{{3 + 3\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow x = \frac{{7 - \sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\)

Vậy \(B\left( {\frac{{7 + \sqrt 3 }}{2};\,\,\frac{{3 - 3\sqrt 3 }}{2}} \right),\,\,C\left( {\frac{{7 - \sqrt 3 }}{2};\,\,\frac{{3 + 3\sqrt 3 }}{2}} \right)\,\) hoặc \(B\left( {\frac{{7 - \sqrt 3 }}{2};\,\,\frac{{3 + 3\sqrt 3 }}{2}} \right),\,\,C\left( {\frac{{7 + \sqrt 3 }}{2};\,\,\frac{{3 - 3\sqrt 3 }}{2}} \right)\,\).

Chọn  A