Phương pháp giải:

Cách 1: Xác định tọa độ giao điểm của đường tròn \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\)

Cách 2: So sánh khoảng cách từ tâm đường tròn \(\left( C \right)\) đến đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) với \(R\)

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 4x - 2y = 0\) có tọa độ tâm \(I\left( {2;\,\,1} \right)\) và \(R = \sqrt 5 \)

Thay \(I\left( {2;\,\,1} \right)\) vào \(\Delta :\,\,x + 2y + 1 = 0\) ta được: \(2 + 2.1 + 1 = 5 \ne 0\)

\( \Rightarrow I\left( {2;\,\,1} \right) \notin \left( \Delta  \right)\)

\( \Rightarrow \Delta \) không đi qua tâm của \(\left( C \right)\)

Tọa độ giao điểm của \(\Delta \) và \(\left( C \right)\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 4x - 2y = 0\\x + 2y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 4x - 2y = 0\\x =  - 2y - 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {\left( { - 2y - 1} \right)^2} + {y^2} - 4.\left( { - 2y - 1} \right) - 2y = 0\)

\( \Leftrightarrow 4{y^2} + 4y + 1 + {y^2} + 8y + 4 - 2y = 0\)

\( \Leftrightarrow 5{y^2} + 10y + 5 = 0\)

\( \Leftrightarrow y =  - 1\)

Với \(y =  - 1 \Rightarrow x = 1\)

Vậy tọa độ giao điểm của \(\Delta \) và \(\left( C \right)\) là \(\left( {1;\,\, - 1} \right)\).

Vậy \(\Delta \) tiếp xúc với \(\left( C \right)\).

Chọn  C