Phương pháp giải:

Đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) tiếp xúc với hai trục tọa độ nên \({I_1} \in {d_1}:\,\,\,y = x\) hooặc \({I_1} \in {d_2}:\,\,\,y =  - x.\) \( \Rightarrow {I_1}\left( {a; \pm a} \right)\,\,\,\,\,\left( {a > 0} \right).\)

Đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1},\) bán kính \({R_1}\) tiếp xúc ngoài với đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2},\) bán kính \({R_2}\)

\( \Rightarrow {I_1}{I_2} = {R_1} + {R_2}.\)

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) tiếp xúc với hai trục tọa độ nên \({I_1} \in {d_1}:\,\,\,y = x\) hooặc \({I_1} \in {d_2}:\,\,\,y =  - x.\) \( \Rightarrow {I_1}\left( {a; \pm a} \right)\,\,\,\,\,\left( {a > 0} \right).\)

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {6;\,\,2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{6^2} + {2^2} - 36}  = 2.\)

TH1: Xét \({I_1}\left( {a;\,\,a} \right) \Rightarrow {R_1} = a.\) 

Khi đó ta có:\(\left( C \right),\,\,\left( {{C_1}} \right)\) tiếp xúc ngoài với nhau

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow I{I_1} = {R_1} + {R_2} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a - 6} \right)}^2} + {{\left( {a - 2} \right)}^2}}  = 2 + a\\ \Leftrightarrow \sqrt {2{a^2} - 16a + 40}  = a + 2\\ \Leftrightarrow 2{a^2} - 16a + 40 = {a^2} + 4a + 4\\ \Leftrightarrow {a^2} - 20a + 36 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - 2} \right)\left( {a - 18} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - 2 = 0\\a - 18 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\,\,\left( {tm} \right)\\a = 18\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{I_1}\left( {2;\,\,2} \right)\\{R_1} = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{I_1}\left( {18;\,\,\,18} \right)\\{R_1} = 18\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {{C_1}} \right):\,\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\\\left( {{C_1}} \right):\,\,\,{\left( {x - 18} \right)^2} + {\left( {y - 18} \right)^2} = 324\end{array} \right..\end{array}\)

TH2: Xét \({I_1}\left( {a;\, - a} \right) \Rightarrow {R_1} = a.\) 

Khi đó ta có:\(\left( C \right),\,\,\left( {{C_1}} \right)\) tiếp xúc ngoài với nhau

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow I{I_1} = {R_1} + {R_2} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a - 6} \right)}^2} + {{\left( {a + 2} \right)}^2}}  = 2 + a\\ \Leftrightarrow \sqrt {2{a^2} - 8a + 40}  = a + 2\\ \Leftrightarrow 2{a^2} - 8a + 40 = {a^2} + 4a + 4\\ \Leftrightarrow {a^2} - 12a + 36 = 0 \Leftrightarrow {\left( {a - 6} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow a - 6 = 0 \Leftrightarrow a = 6 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{I_1}\left( {2;\,\,2} \right)\\{R_1} = 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {{C_1}} \right):\,\,\,{\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = 36.\end{array}\)

Vậy có 3 đường tròn thỏa mãn bài toán.

Chọn D.