Phương pháp giải:

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;\,\,3} \right)\) và bán kính \(R = 2.\)

Ta có: \(\overrightarrow {IM}  = \left( { - 4;\, - 2} \right) \Rightarrow IM = 2\sqrt 5  > R \Rightarrow M\) nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right).\)

Gọi \(T\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ \(M\) đến \(\left( C \right).\)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}T \in \left( C \right)\\\overrightarrow {MT}  = \overrightarrow {IT} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}T \in \left( C \right)\\\overrightarrow {MT} .\overrightarrow {IT}  = 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;\,\,3} \right)\) và bán kính \(R = 2.\)

Ta có: \(\overrightarrow {IM}  = \left( { - 4;\, - 2} \right) \Rightarrow IM = 2\sqrt 5  > R \Rightarrow M\) nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right).\)

Gọi \(T\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ \(M\) đến \(\left( C \right).\)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}T \in \left( C \right)\\\overrightarrow {MT}  = \overrightarrow {IT} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}T \in \left( C \right)\\\overrightarrow {MT} .\overrightarrow {IT}  = 0\end{array} \right..\)

Ta có: \(\overrightarrow {MT}  = \left( {{x_0} + 3;\,\,{y_0} - 1} \right),\,\,\overrightarrow {IT}  = \left( {{x_0} - 1;\,\,{y_0} - 3} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_0^2 + y_0^2 - 2{x_0} - 6{y_0} + 6 = 0\\x_0^2 + y_0^2 + 2{x_0} - 4{y_0} = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow 2{x_0} + {y_0} - 3 = 0\,\,\,\,\left( * \right).\end{array}\)

Như vậy tọa độ các tiếp điểm \({T_1}\) và \({T_2}\) của các tiếp tuyến kẻ từ \(M\) đến \(\left( C \right)\) đều thỏa mãn đẳng thức \(\left( * \right).\)

\( \Rightarrow {T_1}{T_2}:\,\,\,2x + y - 3 = 0.\)

Chọn C.