Phương pháp giải:

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {0;\,\,0} \right)\) và bán kính \(R = 5.\)

Giả sử tiếp tuyến \(d:\,\,\,ax + by + c = 0\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right).\)

\(d\) là tiếp tuyến của \(\left( C \right) \Rightarrow d\left( {I;\,\,d} \right) = R = 5.\)

Theo đề bài ta có: \(d\) tạo với \(\Delta \) một góc \(\alpha  \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} .\overrightarrow {{n_d}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_d}} } \right|}}.\)

Giải phương trình để từ đó lập phương trình đường thẳng \(d.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {1;\,\,2} \right).\) Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {0;\,\,0} \right)\) và bán kính \(R = 5.\)

Giả sử tiếp tuyến \(d:\,\,\,ax + by + c = 0\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}}  = \left( {a;\,\,b} \right)\)

\(d\) là tiếp tuyến của \(\left( C \right) \Rightarrow d\left( {I;\,\,d} \right) = R = 5.\)

\( \Rightarrow \frac{{\left| c \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 5 \Leftrightarrow \left| c \right| = 5\sqrt {{a^2} + {b^2}} \,\,\,\,\left( * \right)\)

Theo đề bài ta có: \(d\) tạo với \(\Delta \) một góc \(\alpha  \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} .\overrightarrow {{n_d}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_d}} } \right|}}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{2}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\left| {a + 2b} \right|}}{{\sqrt 5 .\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \left| {a + 2b} \right| = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow {\left( {a + 2b} \right)^2} = 4{a^2} + 4{b^2} \Leftrightarrow 3{a^2} - 4ab = 0\\ \Leftrightarrow a\left( {3a - 4b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\3a - 4b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\b = \frac{{3a}}{4}\end{array} \right..\end{array}\)

+) Với \(a = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}}  = \left( {0;\,\,b} \right)\) \( \Rightarrow d:\,\,\,by + c = 0.\)

\( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \left| c \right| = 5\sqrt {{b^2}}  \Leftrightarrow \left| c \right| = 5\left| b \right|\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 5b\\c =  - 5b\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{d_1}:\,\,\,y + 5 = 0\\{d_2}:\,\,\,y - 5 = 0\,\,\,\end{array} \right.\)

+) Với \(b = \frac{{3a}}{4} \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}}  = \left( {a;\,\frac{{3a}}{4}} \right) = \frac{a}{4}\left( {4;\,\,3} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \left| c \right| = 5\sqrt {{a^2} + \frac{{9{a^2}}}{{16}}}  \Leftrightarrow \left| c \right| = \frac{{25}}{4}\left| a \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = \frac{{25a}}{4}\\c =  - \frac{{25a}}{4}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}b = \frac{{3a}}{4}\\c = \frac{{25a}}{4}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = \frac{{3a}}{4}\\c =  - \frac{{25a}}{4}\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{d_3}:\,\,\,x + \frac{3}{4}y + \frac{{25}}{4} = 0\\{d_4}:\,\,\,x + \frac{3}{4}y - \frac{{25}}{4} = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{d_3}:\,\,\,4x + 3y + 25 = 0\\{d_4}:\,\,\,4x + 3y - 25 = 0\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy có 4 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán: \(\left[ \begin{array}{l}{d_1}:\,\,\,y + 5 = 0\\{d_2}:\,\,\,y - 5 = 0\\{d_3}:\,\,\,4x + 3y + 25 = 0\\{d_4}:\,\,\,4x + 3y - 25 = 0\end{array} \right..\)

Chọn D.